Maths.net

Première Analyse Les fonctions numériques Généralités Parité: F est une fonction paire si et seulement si: pour tout x: f(-x)=f(x), la courbe Cf est alors symétrique par rapport à l'axe Oy F est impaire si et seulement si: pour tout x: f(-x)=-f(x), la courbe Cf est alors symétrique par rapport à l'origine du repère O. Périodicité: f est une fonction périodique de période T si pour tout x f(x+T)=f(x). On réduit alors le domaine d'étude de la fonction à une période. Variations: F est croissante sur I si et seulement si f'(x) est positive sur I F est décroissante sur I si et seulement si f'(x) est négative sur I F est constante sur I si f'(x)=0 sur I Si f'(x)=0 au point d'abscisse a, alors f(a) est un extremum de la fonction (minimum ou maximum) Si f(a) est un maximum ou un minimum, alors on a une tangente horizontale en a. Tangente: soit f dérivable en a, la tangente à Cf en a est la droite d'équation: Y=(x-a)f'(a)+f(a). Paraboles: une courbe d'équation est une parabole. Si a>0 alors la courbe admet un maximum égal à x=-b/2a Si a<0 alors la courbe admet un minimum égal à x=-b/2a Polynômes de fractions: La limite d'un polynôme en plus ou moins l'infini est égale à la limite du terme de plus haut degré. La limite d'une fraction rationnelle en plus ou moins l'infini est égale à la limite du quotient des termes de plus haut degré. Comparaisons de fonctions Fonctions bornées: f définie sur I, s'il existe m, n réels tels que et alors f est bornée sur I. On dit alors que n est un minorant de f sur I et que m est un majorant de f sur I. Composition de fonctions: soit deux fonctions f définie sur I et g définie sur J avec f(I) contenu dans J alors on note gof(x)=g(f(x)) la composition de par g défini de I dans J. Propriétés: Sur I f est Sur J g est Sur I gof est Croissante Croissante Croissante Croissante Décroissante Décroissante Décroissante Croissante Décroissante Décroissante Décroissante Croissante Théorème de comparaison: soient f, g définies sur I, pour tout x de I, f(x)>g(x) alors: Si alors Si alors Théorème des "gendarmes": soient f,g et h définies sur I. Si pour tout x de I f(x)<g(x)<h(x) et si alors Tangente verticale: Si alors la courbe Cf admet une tangente verticale au point d'abscisse a. Théorème des accroissements finis (TAF): f dérivable sur I=[a,b], m et M deux réels. Si pour tout x de I: m<f'(x)<M alors m(b-a)<f(b)-f(a)<M(b-a) |f'(x)|<M alors pour tout x,y de I: |f(x)-f(y)|<M|x-y| Fonction réciproque: soient f de I vers J et g de J vers I alors f et g sont réciproques l'une de l'autre si et seulement si pour tout x de I gof(x)=x on note alors et . Les courbes de f et de sa réciproque g sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x. Retour