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Définition et propriétés
Définitions: Soit f une transformation du plan, on dit que f est une isométrie si et seulement si pour tous points M et N on a M'N'=MN où M'=f(M) et N'=f(N).
Théorème: la composée d'une translation et d'une rotation est une rotation de même angle.
Compositions de deux rotations: soit r1=rot(r1,a1) et r2=rot(r2,a2) alors:
Si a1+a2=2kpi, alors r1or2 ou r2or1 sont des translations.
Si a1+a2<>2kpi, alors r1or2 ou r2or1 sont des rotations d'angle a1+a2.
Propriétés: les isométries conservent les produits scalaires, les barycentres, les aires, les contacts et les angles non orientés.
Théorèmes: une réflexion est une symétrie par rapport à un axe.
La composée de deux réflexions d'axes parallèles D1 et D2 est une translation de vecteur 2u, où u est un vecteur normal à D1 et D2 tel que tu(D1)=D2 (tu=translation de vecteur u)
Toute translation peut se décomposer en deux réflexions d'axes parallèles et ces axes sont orthogonaux au vecteur de la translation.
Composition de réflexions: soit SD1 et SD2 deux réflexions d'axes D1 et D2 sécantes, alors SD1oSD2 est une rotation de centre I (point d'intersection des deux droites) et d'angle 2(I1,I2) où I1 est sur D1 et I2 est sur D2.
Théorème: toute rotation peut se décomposer en deux réflexions d'axes sécants.
Classification des isométries
Au moins 3 points fixes non alignés: c'est l'identité du plan.
2 points fixes A et B: réflexion d'axe (AB)
1 point fixe O: rotation de centre O ou réflexion d'axe passant par O.
Aucun point fixe: composition d'une translation et d'une rotation ou d'une réflexion.
Théorème: toute isométrie conservant les angles orientés est un déplacement.
Un déplacement est une rotation ou une translation; les autres sont des "anti déplacements". La composition de deux déplacements est un déplacement.
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