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Algèbre
Les déterminants

Définition: soit , on définit Det(A) par:


Cette définition est théorique et ne donne pas de calcul.

Théorème: Det(T(A))=Det(A)

Règle de Sarrus: soit la matrice 3x3 suivante alors le déterminant de celle ci est Det(A)=(ab'c"+a'b"c+a"bc')-(cb'a"+c'b"a+c"ba')

Propriétés des déterminants:

  • Si j'échange deux aucune (a,b) Det(A')=-Det(A)


  • Même chose si j'échange deux lignes


  • Si je multiplie une colonne par k, Det(A')=kDet(A)


  • En particulier avec n=nombre de colonnes de A.


  • Si je calcule où A1 et A2 ne différent que par une colonne


Conclusion: on dit du déterminant que c'est une application multilinéaire c'est à dire linéaire par rapport à chaque colonne, multilinéaire alternée.

Remarques:

On ne change pas un déterminant en rajoutant à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes.
Le déterminant d'une matrice trigonale est le produit des termes diagonaux.


Boîte à outils: ne pas hésiter à formuler ce que l'on veut faire, ne pas hésiter à encadrer les zones de la matrice où l'on veut effectuer les calculs.

Propriétés:

  • Si une matrice a deux lignes identiques, son déterminant est nul.


  • Si det(A)=0, A n'est pas inversible.


  • Si Det(A) est non nul, C1..CN forment une base de Rn.


  • Soit alors det(A)=det(B)*det(C)


  • Det(XY)=Det(X)*Det(Y)


  • Déterminant d'une matrice trigonale par blocs: .





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