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I] Les homothéties vectorielles
Définition: on appelle homothétie vectorielle de rapport 
 de plus  est un sous groupe des automorphismes de groupe GL(E).
Propriétés
Caractérisation matricielle: c'est  dans toute base. Une homothétie est toujours un endomorphisme symétrique car sa matrice est toujours symétrique dans une base orthonormée.
II] Les projecteurs
Définition: on appelle projecteur  tels que . C'est un élément idempotent (ses puissances, c'est lui même).
Propriété: x s'écrit x=(x-p(x))+p(x) (tel que (x-p(x)) appartient à Ker(p) et p(x) appartient à Im(p)). C'est la somme d'un vecteur de Ker(p) et d'un vecteur Im(p). Cette décomposition est unique: 
Théorème: si x=x1+x2,  et  est un projecteur tel que Ker(p)=F1 et Im(p)=F2 et tout projecteur s'obtient ainsi.
Propriété:
On dit que p est la projection sur F2 parallélement à F1.
Si p est un projecteur: est encore un projecteur.
p et q s'appellent des projecteurs supplémentaires: pq=0 et p+q=id.
Projecteurs triviaux:
alors kerp=0 et Imp=E
alors kerp=E et Imp=0
Les autres projecteurs sont appelés projecteurs vrais.
Matrice d'un projecteur  et
Dans une base adaptée à la DSD  :
 , Det(p)=0 si ce n'est pas Id et Tr(p)=dim(Imp)=rg(p)
Un projecteur n'est jamais une application orthogonale.
III] Les symétriques
Rappel:  est involutive si et seulement si fof=Id. On dit que c'est une involution.
Définition: on appelle symétrie de E  qui est involutive. S est une symétrie si et seulement si et
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