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Classes préparatoires
Géométrie
Cercles sphères

I] Le cercle dans le plan E: dim E = 2, euclidien, affine

Définition: le cercle de centre I de rayon R est l'ensemble

Théorèmes:
L'équation dans R du cercle de centre I(a,b) de rayon R est
L'équation de sa tangente en (x0,y0) est
Il a pour équation paramétrée:
Avec ou et
Réciproquement, l'équation représente:


Intersection avec une droite: D une droite et C(I,R) avec R>0:
  • Si d(I,D)>R,


  • Si d(I,D)=R, =1 point, projection orthogonale de I sur D.


  • Si d(I,D)<R, =2 points distincts.


Intersection de deux cercles: deux cercles C1(I1,R1) et C2(I2,R2) avec R1R2>0.
  • Si d(I1,I2)>R1+R2 où d(I1,I2)<|R1-R2| alors


  • Si |R1-R2|<d(I1,I2)<R1+R2 alors =2 point distincts.


  • Si d(I1,I2)=R1+R2 où d(I1,I2)=|R1-R2| alors =1 point.


Soient 2 points A, B alors l'ensemble des points M tels que AM=kBM est un cercle centré sur la droite AB.

Soient 2 points A et B distincts, , l'ensemble des points M tels que est un cercle passant par A et B privé des points A et B. Pour c'est un arc de cercle d'extrémité A et B avec

Définition: on a avec A, B, C trois points distincts du cercle.

II] Cercle et sphère dans l'espace

Définition: Dans la sphère de centre I de rayon R est .

Théorème: l'équation d'une sphère S de centre I(a,b,c) de rayon R est (dans un RON):
ou
Si alors
Si alors


Théorème: l'intersection de S(I,R) et du plan P est:
Vide si d(I,P)>R
Projection orthogonale de I sur P si d(I,P)=R
Cercle de P centré sur I'=projection de I sur P et de rayon sinon.


Théorème: le plan tangent en M0(x0,y0,z0) à la sphère S(I,R), R>0 d'équation a pour équation:

c'est le plan passant par M0 et orthogonal à Im0.

Théorème: soient deux sphères S(I,R) et S'(I',R') avec R, R' >0 alors:
Si d(I,I')>R+R' ou d'(I,I')<|R-R'| =>


Si alors est un cercle ou un point quand d(I,I')=R+R'.

III] Equations paramétrées

Cercle: en polaire:

Sphère: avec

Equation en polaires:

Cercle: de centre O, r=cste
Passant par O centre alors
Droite passant par O:
Autres: équation d'Euler avec distance OH (distance de O à la droite)

avec = angle





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