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Classes préparatoires Analyse Suites réelles Définition: Un converge Propriétés Toute suite convergente est bornée. Un bornée, et minorée, Théorème d'encadrement: alors Si alors Relations de comparaison telle que équivalentes. telle que négligeables. et sont asymptotiques. Propriétés si , Suites de références a>1, a=1, a=1, suite divergente bornée. a<1, suite divergente non bornée Critère de d'Alembert pour les suites 1 Un une suite, si tel que tel que alors 2 Si a>1, N tel que alors Résumé de comparaison Convergence Un croissante majorée converge vers Un décroissante minorée converge vers Suites adjacentes et sont adjacentes si An est croissante, Bn est décroissante et Propriété: deux suites adjacentes sont convergentes et ont même limites. Suites extraites Toute suite extraite de où est croissante de N dans N alors Suite de Cauchy: est de Cauchy si t seulement si dans un espace complet ou de Banach, toute suite de Cauchy est convergente. Théorème de composition des limites: admet une limite Si alors à partir d'un certain rang, existe et Suite tendant vers 0 : est bornée et pour Suite du type Propriétés converge si et seulement si (I stable par f, f croissante et Lim Un=(l)=l vrai si f est continue) croissante si et seulement si décroissante si et seulement si Si f est décroissante sur I, , alors est monotone. Si f est décroissante sur I, , et sont monotones et varient en sens contraire. Méthode Etudier f, solutions de f(x)=x et le signe de f(x)-x Chercher les intervalles stables par f Dessin Faire une étude en fonction de Théorème du point fixe: application contractante (K lipschitzienne) si et seulement si Si f est contractante, alors est de Cauchy et converge. Sens de Cesaro: Si alors Suites complexes: Convergence: converge c'est à dire Propriétés Si et alors Si et l=x+iy alors Méthode On étudie les deux suites et . On étudie les deux suites et Astuces Faire le tour des évidences: supérieure ou égale à 0, croissante, supérieure ou égale à 1. Connaître les astuces de calcul: Ajouter et enlever un nombre Multiplier et diviser par le même nombre. Si on connaître la limite 1 de la suite, étudier . Retour