| Algèbre
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| Inéquations du premier degré ou s'y ramenant à une inconnue
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2. Résolution par étude de signes
Cours
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Exemple 1
1. équivaut à . Cela signifie que est strictement supérieur à 0 (>0), ou strictement positif, ou de signe plus (+), pour toute valeur de x supérieure strictement à .
2. équivaut à . Cela signifie que est strictement inférieur à 0 (<0), ou strictement négatif, ou de signe moins (-), pour toute valeur de x inférieure strictement à .
3. équivaut à . Cela signifie que est égal à 0 (<0), pour la valeur de x égale à.
Il est d'usage de présenter les trois résultats ci-dessus avec le schéma suivant, appelé tableau de signe de :
- Le signe plus (+) symbolise le résultat 1.
- Le signe moins (-) symbolise le résultat 2.
- Le zéro (0) symbolise le résultat 3.
- On peut remarquer que, connaissant le résultat 1, il est très simple d'imaginer les résultats 2 et 3 en remplaçant le symbole > par les symboles < ou =.On évite ainsi les étapes 2 et 3.
Exemple 2
On obtient de même le tableau de signe de :
Cas général
On considère l'inéquation d'inconnue réelle x, a et b étant deux nombres réels tels que .
équivaut à
1. Si a est un nombre réel strictement positif, en divisant les deux membres par a, on obtient
On en déduit le tableau de signe de , avec a strictement positif:
2. Si a est un nombre réel strictement négatif, en divisant les deux membres par a, on obtient .
On en déduit le tableau de signe de , avec a strictement négatif:
Il faut retenir la règle de détermination du signe d'une expression du type: , a et b étant deux nombres réels tels que .
Pour constituer le tableau, on commence par les deux lignes horizontale et verticale, la lettre x et au dessous l'expression .
Ensuite:
- on place la valeur de x telle que (appelée la racine de )
- on note au-dessous et à droite de celle-ci le signe du coefficient a de x,
- et enfin le signe contraire de l'autre côté.
Respecter cet ordre permet d'automatiser le processus et ainsi d'éviter des oublis et des erreurs.
D'après les résultats ci-dessus, la résolution d'une inéquation permet de déterminer le signe d'une expression.
Réciproquement le signe d'une expression permet de résoudre une inéquation.
Exemple
On considère l'expression: .
Tableau de signe:
On en déduit que ( est de signe (+)), pour tout x strictement inférieur à 2 (élément de ), donc l'ensemble des solutions de l'inéquation est .
Méthode pour résoudre une inéquation avec étude de signe
Pour résoudre toute inéquation à une inconnue réelle x:
1) après avoir déterminé les éventuelles valeurs interdites de x,
2) on la transforme en une inéquation équivalente dont l'un des membres est 0,
3) on étudie le signe de l'autre membre suivant les valeurs de x,
4) on en déduit l'ensemble des solutions.
Règles de signes
1. Connaissant le signe d'un nombre a, on peut déterminer sans transformation le signe de:
(-a), l'opposé de a:
, l'inverse de a:
, le carré de a:
, le cube de a:
, la valeur absolue de a:
, le produit de a par un nombre k: est du signe de a si k>0, du signe contraire de a si k<0 et nul si k=0.
2. Connaissant les signes de deux nombres a et b, on peut déterminer sans transformation,
- le signe de : le produit de a et b est nul si a ou b sont nuls, de signe (+), si a et b sont de même signe, de signe (-), si a et b sont de signes contraires.
- le signe de : le quotient de a par b est défini si b est différent de 0, nul si a est nul, de signe (+), si a et b sont de même signe, de signe (-), si a et b sont de signes contraires.
On remarque que si a et b sont différents de 0, le produit et le quotient de a sur b sont de même signe.
La somme de a et b: est de signe (+) si a et b sont de signe (+), de signe (-) si a et b sont de signe (-) et de signe non déterminé si a et b sont de signes contraires.
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