| Algèbre
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| Inéquations du premier degré ou s'y ramenant à une inconnue
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2. Résolution par étude de signes
Exercice 14
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Résoudre les inéquations d'inconnue réelle x:
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. .
Pour écrire un intervalle, cliquer droit dans la case, choisir Fonctions puis Ensembles et l'intervalle souhaité.
Rédaction
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Commentaires
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Inéquation 1
3. Signe du premier membre:
4. L'ensemble des solutions de l'inéquation est .
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Méthode:
3. On détermine le signe du premier membre dans un tableau en utilisant la règle du signe d'un produit:
le produit de a et b est nul si a ou b sont nuls, de signe (+), si a et b sont de même signe, de signe (-), si a et b sont de signes contraires.
4. On en déduit l'ensemble des solutions. Dans ce cas, les solutions de l'inéquation sont les nombres tels que est strictement inférieur à 0, donc de signe (-).
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Inéquation 2
1. On rassemble tous les termes dans le premier membre pour obtenir 0 dans le second membre:
2. On développe et réduit le premier membre:
3. Signe du premier membre:
4. L'ensemble des solutions de l'inéquation est .
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Méthode:
2. Après transformation le premier membre est de la forme dont on peut déterminer le signe.
4. On en déduit l'ensemble des solutions. Dans ce cas, les solutions de l'inéquation sont les nombres tels que est strictement inférieur à 0, donc de signe (-).
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Inéquation 3
1. On rassemble tous les termes dans le premier membre pour obtenir 0 dans le second membre:
2. On développe et réduit le premier membre:
Le premier membre est le développement d'un :
4. L'ensemble des solutions de l'inéquation est .
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Méthode:
2. Après transformation le premier membre est de la forme avec et donc on utilise la formule: .
4. On en déduit l'ensemble des solutions. Dans ce cas, les solutions de l'inéquation sont les nombres tels que est strictement inférieur à 0, donc de signe (-). Le carré d'un nombre n'est jamais inférieur à 0, donc l'inéquation n'a pas de solution.
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Inéquation 4
1. On rassemble tous les termes dans le premier membre pour obtenir 0 dans le second membre:
2. On développe et réduit le premier membre:
On peut factoriser le premier membre:
3. Signe du premier membre:
4. L'ensemble des solutions de l'inéquation est .
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Méthode:
2. Le premier membre est du second degré, mais avec un facteur commun x ,donc on peut le factoriser.
3. Comme pour l'inéquation 1, on détermine le signe du premier membre dans un tableau en utilisant la règle du signe d'un produit:
le produit de a et b est nul si a ou b sont nuls, de signe (+), si a et b sont de même signe, de signe (-), si a et b sont de signes contraires.
4. On en déduit l'ensemble des solutions. Dans ce cas, les solutions de l'inéquation sont les nombres tels que est strictement inférieur à 0, donc de signe (-).
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Inéquation 5
1. On rassemble tous les termes dans le premier membre pour obtenir 0 dans le second membre:
2. On développe et réduit le premier membre:
On ne peut transformer cette expression pour en étudier le signe, donc on ne peut poursuivre la résolution.
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Méthode:
2. Le premier membre est du second degré, mais sans possibilité de transformation (pas de facteur commun visible, pas de forme particulière du type ou ou , donc on ne peut déterminer son signe.
Après avoir étudié les expressions et équations du second degré, ce sera possible.
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Commentaires
Les cinq inéquations ont le même premier membre . Le second membre est chaque fois différent et la résolution en est bien changée. Comparez attentivement les cinq cas.
Inéquation 1:
Le second membre est 0 et le premier membre est un produit dont on peut étudier le signe sans transformation. La résolution est rapide.
Inéquation 2:
Le second membre n'est pas 0, donc il faut transformer: mettre tous les termes dans un même membre, développer réduire, puis observer le résultat.
Le premier membre est alors une expression du premier degré dont on peut étudier le signe.
Inéquation 3:
Le second membre n'est pas 0, donc il faut transformer: mettre tous les termes dans un même membre, développer réduire, puis observer le résultat.
Le premier membre est alors une expression du second degré, mais sous la forme . On factorise sous la forme d'un carré qui est positif ou nul.
Inéquation 4:
Le second membre n'est pas 0, donc il faut transformer: mettre tous les termes dans un même membre, développer réduire, puis observer le résultat.
Le premier membre est alors une expression du second degré particulière, puisque avec un facteur commun x, donc on peut le factoriser et étudier son signe.
Inéquation 5:
Le second membre n'est pas 0, donc il faut transformer: mettre tous les termes dans un même membre, développer réduire, puis observer le résultat.
Le premier membre est alors une expression du second degré qui ne peut être factorisée et dont on ne peut déterminer le signe.
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