| Algèbre
|
| Polynômes
|
2. Factorisation avec un facteur commun
Exercice 7
|
Existe-t-il deux nombres réels a et b tels que les polynômes P et R définis par et soient égaux?
Rédaction
| |
Commentaires
|
| __________________________________________________________________________________________________________
|
Etape 1
On écrit R sous forme développée, réduite et ordonnée suivant les puissances décroissantes de x.
On développe:
On réduit et ordonne suivant les puissances décroissantes de x:
|
Pour comparer P(x) et R(x), il faut les écrire sous la même forme.
R(x) est ,comme P(x), du second degré, ce qui est obligatoire pour que ces polynômes soient égaux.
|
| __________________________________________________________________________________________________________
|
Etape 2
si et seulement si ils ont la même forme développée, réduite et ordonnée, donc, en respectant l'ordre des coefficients, on doit avoir:
(écrire les coefficients de R dans le premier membre)
et et
Les trois conditions sont réalisées si et seulement si:
et
|
Les polynômes, sous la forme développée réduite et ordonnée, sont égaux si ils ont le même coefficient pour les termes de même degré.
Puisque ils ont trois termes, alors il y a trois égalités simultanées, donc un système de trois équations du premier degré à deux inconnues a et b à résoudre.
Ce système a une solution unique, le couple (1;-2).
|
| __________________________________________________________________________________________________________
|
Etape 3
On en déduit:
(respecter l'ordre des facteurs)
|
Il existe une solution unique.
On peut vérifier la réponse proposée en développant le second membre.
Cette méthode en trois étapes permet de factoriser le
polynôme à condition de connaître
le facteur .
|
Retour
|
|
|