| Algèbre
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| Polynômes
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2. Factorisation avec un facteur commun
Exercice 8
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Existe-t-il trois nombres réels a,b et c tels que les polynômes P et R définis par et soient égaux?
On appliquera la méthode suivante:
1. développer, réduire et ordonner R(x),
2. traduire l'égalité de P et R,
3. donner la réponse.
Rédaction
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Commentaires
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Etape 1
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Pour comparer P(x) et R(x), il faut les écrire sous la même forme.
R(x) doit être ,comme P(x), du troisième degré, ce qui est obligatoire pour que ces polynômes soient égaux.
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Etape 2
P=R, donc on doit avoir les égalités vraies:
(écrire les coefficients de R dans le premier membre)
et et et
Les quatre conditions sont réalisées si et seulement si:
et et
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Les polynômes, sous la forme développée réduite et ordonnée, sont égaux si ils ont le même coefficient pour les termes de même degré.
Puisque ils ont quatre termes, alors il y a quatre égalités simultanées, donc un système de quatre équations du premier degré à trois inconnues a,b et c à résoudre.
Ce système a une solution unique, le triplet (1;-1;1).
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Etape 3
On en déduit:
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Il existe une solution unique.
On peut vérifier la réponse proposée en développant le second membre.
Cette méthode en trois étapes permet de factoriser le polynôme à condition de connaître le facteur .
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Retour
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