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Travaux numériques 09. Equations, inéquations à une inconnue, systèmes 03. Systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues Leçon Définitions Une solution d'une équation à deux inconnues x et y est un couple de deux nombres, composé d'une valeur pour x, suivie d'une valeur pour y. Exemple: est une équation à deux inconnues x et y. Le couple (1,0) est tel que, si on remplace x par 1 et y par 0 dans l'équation, on obtient l'égalité numérique: . Cette égalité est vraie, donc le couple (1,0) est solution de l'équation. Une solution d'un système d'équations à deux inconnues x et y est un couple de deux nombres, solution de chacune des équations. Résoudre un tel système, c'est trouver tous les couples solutions. Dans cette leçon tous les systèmes sont composés de deux équations du premier degré à deux inconnues et auront une solution (unique). Résolution par le calcul Méthode 1 Pour résoudre un système de deux équations du premier degré à deux inconnues, on le transforme par la méthode de substitution. Exemple: 1. On calcule x en fonction de y dans la première équation et, dans la deuxième équation, on substitue à x la seule valeur obtenue: 2. On résout la deuxième équation: 3. Dans la première équation, on substitue à y la seule valeur obtenue: Le système a une solution le couple (5,-5). On a choisi la première équation pour calculer x en fonction de y, et effectuer la substitution. On aurait pu dans cette équation calculer y en fonction de x et effectuer la substitution ainsi définie. On aurait pu aussi choisir la seconde équation et calculer, soit x, soit y, puis effectuer la substitution. Le meilleur choix est celui qui donne les calculs les plus simples. A chaque ligne on effectue des transformations sur le système en gardant les deux équations, donc le système entier. Toutes les étapes de la résolution de la deuxième équation ne sont pas obligatoires. Il faut écrire ce qui est indispensable pour que l'on puisse suivre votre raisonnement. Méthode 2 Pour résoudre un système de deux équations du premier degré à deux inconnues, on le transforme par la méthode des combinaisons linéaires. Exemple: 1. On multiplie par 2 les deux membres de la première équation, par (-1) les deux membres de la deuxième équation et on additionne membre à membre les deux égalités obtenues. On obtient une équation qui ne contient plus x. On multiplie par 1 les deux membres de la première équation, par 1 les deux membres de la deuxième équation et on additionne membre à membre les deux égalités obtenues. On obtient une équation qui ne contient plus y. 2. On résout les deux équations: Le système a une solution le couple (5,-5). On a choisi les coefficients 2 et (-1) pour multiplier les deux membres des équations respectives 1 et 2. La raison de ce choix est le coefficient de x obtenu: qu'on veut égal à 0. L'équation obtenue est la combinaison linéaire des deux équations du système de coefficients 2 et 1; elle ne contient que y. On a choisi les coefficients 1 et 1 pour multiplier les deux membres des équations respectives 1 et 2. La raison de ce choix est le coefficient de y obtenu: qu'on veut égal à 0. L'équation obtenue est la combinaison linéaire des deux équations du système de coefficients 1 et 1; elle ne contient que x. Résolution graphique Chaque équation du système est l'équation d'une droite dans un plan muni d'un repère et, dans cette leçon, les deux droites seront sécantes en un point. Le couple solution du système constitue les coordonnées du point d'intersection des deux droites. La valeur de x est l'abscisse du point. La valeur de y est l'ordonnée du point. Vérification On peut toujours vérifier qu'un couple (a,b) de deux nombres est ou n'est pas solution d'un système à deux inconnues x et y On remplace x par a et y par b dans les deux équations. On obtient deux égalités numériques. Si elles sont vraies toutes les deux, alors (a,b) est solution du système. Si elles ne sont pas vraies toutes les deux, alors (a,b) n'est pas solution du système. Retour