| Travaux numériques
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| 09. Equations, inéquations à une inconnue, systèmes
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03. Systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues
Exercice 1
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Pourquoi et comment transformer un système par la méthode de substitution?
 1.
Le système ci-dessus s'écrit: .
C'est un système de deux équations du premier degré à deux inconnues x et y.
Les équations contiennent toutes les deux les deux inconnues.
2.
Le système ci-dessus est un système de deux équations du premier degré à deux inconnues, mais les équations contiennent toutes les deux une inconnue.
Ce système a une solution, le couple et cela se voit. Ce couple est formé par la seule valeur possible pour x: , suivi par la seule valeur possible pour y: .
3.
Le système ci-dessus est un système de deux équations du premier degré à deux inconnues. Il a une solution le couple et cela ne se voit qu'à moitié. D'où la nécessité de le transformer en un système ayant la même solution visible.
Pour cela il existe une méthode appelée méthode de substitution.
Elle consiste, puisqu'on doit avoir , à substituer à y cette valeur dans l'équation 1, on écrit:
On transforme le système par substitution:
L'équation 1 obtenue ne contient plus y, elle est du premier degré en x et elle a une solution le nombre .
Le système a une solution (2,-1).
Reprenons le système au début de l'exercice:1..
Pour transformer ce système par substitution,
1. on choisit une équation : l'équation 1,
2. on choisit une inconnue dans cette équation: x,
3. on calcule x en fonction de y dans cette équation,
4. on substitue à x dans l'équation 2, la valeur trouvée.
On écrit et surtout on ne fait que la substitution et rien d'autre.
L'équation 2 obtenue ne contient plus x, elle est du premier degré en y. On la résout.
On écrit successivement.
Le système obtenu est de même sorte que le système 3 précédent. Pour le résoudre on le transforme par substitution en substituant à y dans l'équation 1, la valeur -1.
On écrit:
Le système obtenu est de même sorte que le système 2 précédent. Ce système a une solution visible (2,-1).
Remarque: on a effectué successivement deux substitutions: on a remplacé x par , puis on a remplacé y par -1.
On vous laisse le choix de la substitution de départ, dans ce cas on a choisi celle définie par , parce qu'elle est simple, mais il y a trois autres choix possibles en changeant d'équation ou d'inconnue.
Autre méthode de transformation
On choisit l'équation 2 et l'inconnue x.
Cette méthode est plus compliquée à cause du dénominateur 3. Par contre le choix de x dans l'équation 2 est aussi sympathique que celui que l'on a fait.
Conclusion: il faut réfléchir avant de choisir!
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