| Travaux numériques
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| 11. Nombres entiers et rationnels
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01. Diviseurs communs à deux entiers, fractions irréductibles
Leçon
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Dans cette leçon tous les nombres utilisés sont des entiers naturels.
Diviseurs
Définition
Les nombres a, b et k sont des entiers naturels tels que .
b est un diviseur de a (ou b divise a), si il existe un entier naturel k tel que .
Dans ce cas, le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
 Si k est un diviseur de a et de b, alors k est un diviseur de (1).
Si la division euclidienne de a par b s'écrit: et , alors tout diviseur de a et b est un diviseur de b et r (2).
Les deux propriétés sont utilisées dans la méthode de calcul du PGCD de deux nombres.
Diviseurs communs
Définitions
 k est un diviseur commun à a et b, si k est un diviseur de a et un diviseur de b.
Les nombres a et b sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1.
Le plus grand des diviseurs communs à a et b s'appelle Le Plus Grand Commun Diviseur de a et b.
On écrit: PGCD(a,b).
a et b sont premiers entre eux si et seulement si .
(3)
(4)
Fractions irréductibles
Définition
Si b est différent de 0, la fraction est irréductible si a et b sont premiers entre eux.
Si on divise le numérateur et le dénominateur de la fraction par PGCD(a,b), alors la fraction obtenue est égale à et elle est irréductible.
Calcul du PGCD de deux nombres a et b
Méthode des soustractions successives
Etape 1
Si a>b et alors, d'après la propriété (1): tout diviseur de a et b est un diviseur de c.
On en déduit:
On garde, à sa place, le plus petit des deux nombres: b.
On remplace l'autre: a, par c, différence des deux nombres a et b.
On remplace donc le calcul de PGCD(a,b) par celui de PGCD(c,b).
Maintenant on calcule PGCD(c,b):
Etape 2
Si c>b et alors, d'après la propriété (1):
On garde, à sa place, le plus petit des deux nombres: b.
On remplace l'autre: c, par d, différence des deux nombres b et c.
On remplace donc le calcul de PGCD(c,b) par celui de PGCD(d,b).
Maintenant on calcule PGCD(d,b)....
On continue ainsi jusqu'à l'obtention du PGCD de deux nombres égaux et en appliquant la propriété (3), on en déduit que le PGCD de a et b est ce dernier nombre obtenu.
Méthode des divisions successives (dite de l'algorithme d'Euclide)
Etape 1
Si a>b et la division euclidienne de a par b s'écrit: avec q et r, entiers naturels tels que , alors, d'après la propriété (2): tout diviseur de a et b est un diviseur de b et r.
On en déduit:
.
On remplace le dividende (a) et le diviseur (b) respectivement par le diviseur (b) et le reste (r) de la division de a par b.
On remplace donc le calcul de PGCD(a,b) par celui de PGCD(b,r).
Maintenant on calcule PGCD(b,r):
Etape 2
Puisque , alors la division euclidienne de b par r s'écrit: avec q' et r' entiers naturels tels que .
D'après la propriété (2) .
On remplace le dividende (b) et le diviseur (r) respectivement par le diviseur (r) et le reste (r') de la division de b par r.
On remplace donc le calcul de PGCD(b,r) par celui de PGCD(r,r').
Maintenant on calcule PGCD(r,r')...
On continue ainsi jusqu'à l'obtention du PGCD de deux nombres sont l'un est 0 et en appliquant la propriété 4, on en déduit que le PGCD de a et b est le dernier nombre non nul obtenu.
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