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Travaux numériques 11. Nombres entiers et rationnels 01. Diviseurs communs à deux entiers, fractions irréductibles Exercice 3 Diviseurs de 12 et 42. Applications Activité 1 Si a est un entier non nul, . On en déduit que 1 et a sont des de a. Le plus petit diviseur de a est . Le plus grand diviseur de a est . Commentaire b est un diviseur de a si il existe un entier naturel k tel que , donc 1 et a sont des diviseurs de a. ____________________________________________________________________________________________________________________ Activité 2 On considère l'entier 12. Compléter: On ne peut écrire un autre produit d'entiers égal à 12. On en déduit la liste de tous les diviseurs de 12, du plus petit au plus grand: : (mettre un espace entre les nombres) Commentaire Il est très simple de trouver tous les diviseurs d'un nombre a, il suffit de dresser la liste de produits de deux entiers égaux à a, en prenant dans l'ordre croissant tous les entiers possibles à partir de 1. Il ne faut cependant pas que a soit trop grand! ____________________________________________________________________________________________________________________ Activité 3 On considère l'entier 42. Compléter: On en déduit la liste de tous les diviseurs de 42, du plus petit au plus grand: : (mettre un espace entre les nombres) Les diviseurs communs à 12 et 42 sont, du plus petit au plus grand: . Connaissant tous les diviseurs de 12 et 42, on peut déterminer le plus grand des diviseurs communs à 12 et 42: PGCD(42,12) et ce nombre a est égal à . De plus: et . Commentaire Pour la recherche des diviseurs de 42: on commence par 1, 2, 3 qui divisent 42, mais 4, 5 ne divisent pas 42, donc on passe à 6. On s'arrête à 6 puisque ensuite 7 a déjà été utilisé. La méthode de recherche du PGCD proposée avec les activités 2 et 3 est efficace mais longue (et encore les nombres 12 et 42 ne sont pas grands). Les méthodes proposées par soustractions ou divisions successives sont beaucoup plus rapides. ____________________________________________________________________________________________________________________ Activité 4 On considère la fraction . On remplace 12 et 42 par les valeurs déterminées à la fin de l'exercice ci-dessus, puis on simplifie: La fraction obtenue en simplifiant par PGCD(12,42) est . La fraction irréductible égale à est . Commentaire 12 et 42 sont écrits sous la forme d'un produit de deux nombres avec le nombre commun a, donc on peut simplifier la fraction par a (le PGCD de 12 et 42). a étant le plus grand commun diviseur de 12 et 42, les numérateur et dénominateur de la fraction obtenue n'ont pas de facteur commun, donc cette fraction ne peut être simplifiée. La fraction est l'inverse de la fraction . ____________________________________________________________________________________________________________________ Activité 5 On dispose de 42 bonbons et 12 sucettes. et ,donc, avec toutes ces friandises, on peut constituer paquets de 14 bonbons et 4 sucettes. D'après la question 3: et , donc le plus grand nombre de paquets que l'on peut constituer avec toutes ces friandises et contenant les mêmes nombres de bonbons et de sucettes est . Dans ce cas, chaque paquet contiendra bonbons et sucettes. Commentaire Cette activité montre que le PGCD de deux nombres peut servir à résoudre ce genre de problème concret. Retour