| Travaux numériques
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| 11. Nombres entiers et rationnels
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01. Diviseurs communs à deux entiers, fractions irréductibles
Exercice 4
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PGCD, calculs et applications
Activité 1
On calcule PGCD(729,432) par la méthode des soustractions successives:
On en déduit: . De plus: et (écrire le PGCD comme premier facteur).
La fraction irréductible égale à est:.
La fraction s'écrit aussi . Elle est égale au nombre décimal:.
Commentaire
Il est impossible sans calcul, de dire si la fraction est irréductible ou pas. Il faut calculer le PGCD des numérateur et dénominateur et constater si il est égal à 1 ou pas. Dans ce dernier cas on obtient la fraction irréductible égale, en simplifiant par le PGCD obtenu.
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Activité 2
Le nombre 495 n'est pas premier:
il est divisible par 5, parce que le chiffre des est ,
il est divisible par 3, parce que la est un ,
il est divisible par 9, parce que la est un .
Le nombre 182 n'est pas premier: il est divisible par 2 parce que le chiffre des est un .
On calcule PGCD(495,182) par la méthode des soustractions successives:
On en déduit: . Donc les deux nombres sont .
Commentaire
Cette activité montre que deux nombres, qui ne sont pas premiers, peuvent être premiers entre eux.
Il ne faut pas oublier les caractères de divisibilité les plus courants: par 2, 3, 4, 5, 9, 10, ...
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Activité 3
On calcule PGCD(925,436) par la méthode des divisions successives:
On en déduit: .
Donc les deux nombres 925 et 436 sont premiers entre eux; ne sont pas premiers entre eux,
la fraction
est irréductible; n'est pas irréductible,
la fraction
est irréductible; n'est pas irréductible.
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Activité 4
On calcule PGCD(924,436) par la méthode des divisions successives:
On en déduit: .
On calcule PGCD(924,436) par la méthode des divisions successives:
On en déduit: .
Commentaire
Cette activité permet de comparer les deux méthodes. Pour la première il faut 6 divisions, pour la seconde 15 soustractions. L'algorithme d'Euclide est plus rapide, mais il comporte des divisions qui sont des opérations plus risquées à faire rapidement que des soustractions.
Au Brevet des collèges on vous laisse le choix de la méthode, alors utilisez celle qui vous plaît le mieux.
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Activité 5
On calcule PGCD(153,51) par la méthode des divisions successives:
On en déduit: .
On calcule PGCD(1581,357) par la méthode des divisions successives:
On en déduit: .
On utilise ces nombres pour simplifier les fractions suivantes:
(écrire le PGCD en premier facteur)
(écrire le PGCD en premier facteur)
On en déduit leur somme:
(résultat irréductible)
Commentaire
Pour additionner des fractions de dénominateurs différents, il faut choisir un dénominateur commun. Dans ce cas, commencer par les simplifier, permet de déterminer plus facilement un dénominateur commun.
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