| Les sujets "zéro" du baccalauréat
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| Série ES
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| Exercice 24 (enseignement de spécialité)
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Enoncé.
Cinq étudiants, Xavier, Yann, Wanda, Valérie et Zoé, ont à passer un examen avec quelques épreuves écrites.
Pour chaque étudiant, voici la liste des épreuves écrites qu'il doit passer:
Xavier: Anglais, Espagnol, Histoire;
Yann: Français, Histoire, Mathématiques;
Wanda: Biologie, Histoire;
Valérie: Anglais, Espagnol, Mathématiques;
Zoé: Espagnol, Histoire, Mathématiques.
Chaque épreuve dure une demi-journée. On cherche à organiser la session d'examen afin qu'elle dure le moins de demi-journées possibles.
Pour cela on a représenté la situation par le graphe ci-contre; chaque sommet du graphe correspond à l'initiale d'une matière: A pour Anglais, B pour Biologie, E pour espagnol, etc.
1- Expliquer à quoi correspond chaque arête de ce graphe.
2- Expliquer comment traduire le problème posé par un problème de coloriage de ce graphe.
3- Proposer un coloriage de ce graphe permettant de minimiser le nombre de couleurs.
4- Quel est le nombre chromatique de ce graphe?
5- Proposer une organisation de la session d'examen en un minimum de demi-journées. |
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Solution
1- Chaque arête de ce graphe signifie qu'un candidat ne peut pas passer la même demi-journée les deux épreuves dont les initiales sont celles des sommets, donc que ces épreuves ne doivent pas avoir lieu dans la même demi-journée.
2- Les sommets de même couleur correspondent à des épreuves qui peuvent être programmées la même demi-journée, donc le nombre minimum de couleurs obtenu en coloriant le graphe est le nombre minimum de demi-journées à prévoir pour organiser les épreuves.
3- On a rangé les sommets du graphe par ordre décroissant de leur degré. On a obtenu le coloriage suivant:
| Sommet |
H |
M |
A |
E |
F |
B |
| Couleur |
Rouge |
Bleu |
Vert |
Jaune |
Vert |
Bleu |
Graphe colorié:
4- Le nombre chromatique de ce graphe est donc 4.
5- D'après les résultats ci-dessus on peut proposer une organisation en 4 demi-journées:
Demi-journée 1: Histoire
Demi-journée 2: Mathématiques et Biologie
Demi-journée 3: Anglais et Français
Demi-journée 4: Espagnol
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