| Les sujets "zéro" du baccalauréat
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| Série ES
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| Exercice 20 (enseignement obligatoire)
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Enoncé.
Au cours d'une journée, un commercial se déplace pour visiter deux de ses clients afin de leur proposer l'achat d'un produit de grande consommation d'une valeur de 500 ?.
Au vu de son expérience le commercial estime que:
- la probabilité que le premier client visité achète le produit est égale à 0,25;
- si le premier client achète le produit, la probabilité que le second client visité achète le produit est égale à 0,4;
- si le premier client n'achète pas le produit, la probabilité que le second client visité achète le produit est égale à 0,25.
1- On note A l'événement: "le premier client achète le produit".
On note B l'événement: "le deuxième client achète le produit".
Calculer la probabilité de l'événement B.
2- Quelle est la probabilité qu'un seul des clients conclue l'achat?
3- Le commercial perçoit 15% sur le total de sa vente.
a) Etablir la loi de probabilité associée au gain de la journée.
b) Quelle est l'espérance mathématique du gain?
4- Que doit être le pourcentage de sa commission pour que cette espérance dépasse 60?? (on donnera le résultat arrondi au dixième).
Solution
1- D'après l'arbre ci-dessus décrivant la situation, les événements A et forment une partition de l'univers, donc d'après la formule des probabilités totales,
2- "Un seul des clients conclut l'achat" est l'événement .
Les deux événements et sont incompatibles, donc:
3- a) Les valeurs du gain de la journée sont 15% de 0, 500 et 1000, donc 0, 75 et 150.
La probabilité pour que le gain de la journée soit 0 est .
.
La probabilité pour que le gain de la journée soit 75 est la probabilité qu'un seul des clients conclue l'achat, donc 0.3375.
La probabilité pour que le gain de la journée soit 150 est .
La loi de probabilité associée au gain de la journée est:
| Gain |
0 |
75 |
150 |
Total |
| Probabilité |
0.5625 |
0.3375 |
0.100 |
1 |
b)
L'espérance mathématique du gain est donc 40.3125?.
4- Si le pourcentage de la commission est x, alors la loi de probabilité est:
| Gain |
0 |
|
|
Total |
| Probabilité |
0.5625 |
0.3375 |
0.100 |
1 |
L'espérance mathématique est alors:
Si l'espérance mathématique dépasse 60?, alors: , donc .
, donc il faut un pourcentage de la commission de 22.3% pour que l'espérance dépasse 60?.
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