| Les sujets "zéro" du baccalauréat
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| Série ES
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| Exercice 23 (enseignement de spécialité)
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Enoncé.
Une grande entreprise propose à ses employés deux types d'horaires mensuels, fixes ou variables. Chaque trimestre, tous les employés sont consultés sur le type d'horaire qu'ils désirent adopter au trimestre suivant.
Au début de l'expérience, 60% des employés sont favorables aux horaires fixes. Autrement dit l'état probabiliste initial est décrit par la matrice ligne .
On estime qu'un employé préférant les horaires fixes un trimestre donné garde sept fois sur dix le même avis au trimestre suivant, alors qu'un employé préférant les horaires variables change d'avis une fois sur cinq au trimestre suivant.
On suppose que les effets des changements de personnel dans l'entreprise sont négligeables.
1- Traduire cette situation à l'aide d'un graphe probabiliste.
2- On admet que la matrice de transition M de ce graphe est égale à .
a) Donner l'état probabiliste deux trimestres après le début de l'expérience et interpréter le résultat obtenu.
b) Déterminer l'état probabiliste stable et l'interpréter.
Solution
1-Graphe probabiliste traduisant la situation:
2-a)
L'état probabiliste deux trimestres après le début de l'expérience est . Cela signifie qu'après deux trimestres, 45% des employés sont favorables aux horaires fixes et 55% aux horaires variables.
b) La matrice de transition ne comporte pas de 0, donc l'état probabiliste à l'étape n converge vers un état stable P indépendant de l'état initial et tel que .
Donc si , alors et .
On en déduit:
et .
D'où le système:
On en déduit:
L'état probabiliste stable est l'état . Cela signifie que au fur et à mesure des trimestres le pourcentage des employés favorables aux horaires fixes se rapproche de 40% et celui des employés favorables aux horaires variables des 60%.
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