| Les sujets "zéro" du baccalauréat
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| Série ES
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| Exercice 25 (enseignement obligatoire)
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Enoncé.
Deux magasins et d'une même firme ont respectivement besoin, chaque semaine, de 100 kg et de 120 kg d'un même produit. Ils achètent ce produit à deux usines et qui en fabriquent respectivement 130 kg et 90 kg par semaine. On observe que l'offre est égale à la demande.
Les coûts du kilogramme de ce produit, achat et transport compris, sont respectivement:
 de à : 60 ?
de à : 30 ?
de à : 40 ?
de à : 20 ?
La firme veut déterminer une politique d'approvisionnement optimale, c'est-à-dire au moindre coût.
On désignera par x, y, z et t les quantités respectives en kilogrammes de produit allant respectivement de à , de à , de à et de à .
1- Ecrire, en les justifiant, les quatre équations qui expriment que la demande des magasins est satisfaite et que les usines vendent complètement leur production.
Montrer que y, z et t s'expriment en fonction de x seul.
2- Les quantités x, y, z et t étant positives ou nulles, montrer que x appartient à l'intervalle [10,100].
3- Exprimer le coût total de l'approvisionnement f(x) en fonction de x.
Déterminer le minimum de ce coût pour x appartenant à l'intervalle [10,100].
En déduire comment se fera alors l'approvisionnement optimal des magasins et .
Solution
1-
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Total |
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x |
z |
100 |
|
y |
t |
120 |
| Total |
130 |
90 |
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D'après le tableau ci-dessus, les quatre équations qui expriment que la demande des magasins est satisfaite et que les usines vendent complètement leur production sont:
On en déduit par substitution:
2- Les quantités x, y, z et t étant positives ou nulles, d'après les trois premières égalités ci-dessus, on doit avoir:
et et
On en déduit:
et et
Donc x appartient à l'intervalle [10,100].
3- Le coût de l'approvisionnement de est: .
Le coût de l'approvisionnement de est: .
Le coût total de l'approvisionnement f(x) en fonction de x est défini par:
.
Donc:
.
.
.
La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [10,100], donc f(x) est minimum pour la valeur 10 de x. Le coût minimum est .
Dans ce cas, , , et , donc l'approvisionnement optimal des magasins et sera:
- pour : 10 kg de et 90kg de ,
- pour : 120 kg de et 0kg de .
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