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Les sujets "zéro" du baccalauréat
Série ES
Exercice 29 (enseignement de spécialité)




Enoncé

Une observation faite par un journal, sur ses abonnés, a permis de constater, pour chaque année, un taux de réabonnement voisin de 75% ainsi que l'apparition d'environ 4000 nouveaux abonnés.
L'objet de cet exercice est l'étude du devenir du nombre annuel de ces abonnés, en supposant que la situation décrite par l'observation reste la même au fil des ans.
On note le nombre d'abonnés après n années et on précise que .
1-Expliquer pourquoi, pour tout nombre entier naturel n, .
2-Soit la suite définie, pour tout nombre entier naturel n, par .

a) En exprimant en fonction de , montrer que la suite est une suite géométrique, dont on précisera la raison et la premier terme.
b) Soit n un entier naturel; exprimer en fonction de n. En déduire que .
c) En utilisant le résultat précédent, déterminer la limite de la suite .

3-a) Résoudre, pour x appartenant à l'ensemble des nombres entiers, l'inéquation: (on rappelle que ).
b) Déterminer la première année pour laquelle le nombre d'abonnés dépassera 15000.


Solution

1- Chaque année le nombre d'abonnés est la somme du nombre de réabonnés: 75% du nombre d'abonnés de l'année précédente, et du nombre de nouveaux abonnés. Donc, pour tout nombre entier naturel: .
2- a)
Pour tout entier naturel n , donc la suite est géométrique de raison 0.75.
, donc le premier terme de la suite est 6000.
b) Soit n un entier naturel, .
Pour tout entier n , donc , d'où .
c) , donc , donc la limite de la suite est 16000.
3-a) On résout, pour x appartenant à l'ensemble des nombres entiers, l'inéquation: .
On obtient:




La fonction exp est telle que: pour tous réels a et b, équivaut à , donc on en déduit:

Le nombre est strictement négatif, donc on obtient:
est strictement compris entre 6.2 et 6.3, donc les solutions de l'inéquation sont tous les entiers naturels supérieurs ou égaux à 7.
b) Le nombre d'abonnés dépassera 15000 si l'inéquation est vérifiée. D'après le résultat ci-dessus, la plus petite solution de l'inéquation est 7, donc la première année pour laquelle le nombre d'abonnés dépassera 15000 est la septième année.




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