| Les sujets "zéro" du baccalauréat
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| Série S
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| Exercice 13 (enseignement obligatoire)
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Enoncé
Le plan est rapporté à un repère orthonormal .
On note I le point de coordonnées (1,0).
Soient f une fonction positive, strictement croissante et dérivable sur [0,1], C sa courbe représentative dans le repère et la portion de plan comprise entre C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=1.
Le but du problème est de prouver l'existence d'un unique réel appartenant à l'intervalle [0,1] tel que, si A est le point de C d'abscisse , le segment [IA] partage en deux régions de même aire.
Pour tout x appartenant à l'intervalle [0,1], on note le point de coordonnées (x,f(x)) et le domaine délimité par la droite (), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la courbe C.
On désigne par F la fonction définie sur [0,1] par et par g(x) l'aire de .
1-Exprimer, pour tout x appartenant à l'intervalle [0,1], g(x) en fonction de x, f(x) et F(x).
2-Démonstration de cours. Démontrer que F est dérivable et a pour dérivée f.
3-Etudier les variations de la fonction g qui à x associe g(x) sur [0,1].
4- (a)Par des considérations d'aires, montrer .
(b) Montrer qu'il existe un unique réel de [0,1] tel que soit égal à la moitié de l'aire de .
Solution
1-Pour tout x appartenant à l'intervalle [0,1], g(x) est la somme de l'aire du domaine délimité par la courbe C, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation t=x et l'aire du triangle délimité par la droite , l'axe des abscisses et la droite d'équation t=x.
2-F est la primitive de f qui s'annule pour la valeur 0 de x, donc F est dérivable et a pour dérivée f.
3-
Pour tout x de [0,1], et et, puisque f est strictement croissante sur [0,1], , donc .
On en déduit que la fonction g est strictement croissante sur [0,1].
4- (a)
g(0) est l'aire du triangle OIK, donc est l'aire du rectangle OIJK.
est l'aire de la portion de plan .
Comme f est strictement croissante sur [0,1] , donc le rectangle est inclus dans alors , donc .
(b) est l'aire de .
La fonction g est continue et strictement croissante sur [0,1], est inférieur à la moitié de l'aire de et est supérieur à la moitié de l'aire de , donc il existe un unique réel de [0,1] tel que soit égal à la moitié de l'aire de .
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