| Les sujets "zéro" du baccalauréat
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| Série S
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| Exercice 14 (enseignement obligatoire)
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Enoncé
A. Solutions d'une équation différentielle.
On considère l'équation différentielle:
(A)
où y désigne une fonction de la variable t, dérivable sur .
1-Démonstration de cours. Démontrer l'existence et l'unicité de la solution f de l'équation différentielle (A) telle que .
2- Vérifier que la solution f de l'équation différentielle (A) telle que est f qui à t associe .
B. Etablissement d'un courant dans une bobine.
Aux bornes d'une bobine de résistance R (exprimée en ohms) et d'inductance L(exprimée en henrys), on branche, à la date t=0, un générateur de force électromotrice E (exprimée en volts). L'unité de temps est la seconde.
L'intensité du courant dans le circuit (exprimée en ampères) est une fonction dérivable du temps, notée i. A la date t=0 l'intensité est nulle.
Au cours de l'établissement du courant, la fonction i est solution de l'équation différentielle:
Valeurs numériques: Dans toute la suite, on prend R=5, L=1/2, E=3.
1- Déduire des questions précédentes l'expression de i(t) pour .
2- Déterminer .
Solution
A. 1- Les solutions de l'équation (A) sont les fonctions qui à t associent , g étant une solution particulière de l'équation (A).
Les solutions qui s'annulent en 0, sont telles que , donc .
Il existe donc une unique solution f de l'équation différentielle (A) telle que . C'est la fonction qui à t associe , g étant une solution particulière de l'équation (A).
2- f est définie et dérivable sur et .
On en déduit que pour tout réel t , donc la fonction f est solution de l'équation différentielle (A).
, donc f est la solution de l'équation différentielle (A) telle que .
B. 1- La fonction i est la solution de l'équation différentielle telle que .
L'équation différentielle s'écrit , donc, d'après A. 2- la fonction i est définie pour t positif ou nul par: .
2- et , donc .
On en déduit: .
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