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Les sujets "zéro" du baccalauréat Série S Exercice 26 (enseignement de spécialité) Enoncé Cet exercice, trop long pour un exercice de spécialité, est présenté dans son intégralité pour respecter sa cohérence ainsi que le travail de l'auteur. 1- (a) Déterminer deux entiers relatifs u et v tels que . (b) En déduire deux rentiers relatifs et tels que . (c) Déterminer tous les couples (a,k) d'entiers relatifs tels que 2- On considère deux entiers relatifs naturels a et b. Pour tout entier n, on note le reste de la division euclidienne de par 26. On décide de coder un message, en procédant comme suit: A chaque lettre de l'alphabet on associe un entier compris entre 0 et 25, selon le tableau suivant: Pour chaque lettre du message, on détermine l'entier n associé puis on calcule . La lettre est alors codée par la lettre associée à . On ne connaît pas les entiers a et b, mais on sait que la lettre F est codée par la lettre K et la lettre T est codée par la lettre O. (a) Montrer que les entiers a et b sont tels que: modulo 26 et modulo 26 (b) En déduire qu'il existe un entier k tel que . (c) Déterminer tous les couples d'entiers (a,b), avec et , tels que: modulo 26 et modulo 26 3- On suppose que a=17 et b=3. (a) Coder le message "GAUSS". (b) Soient n et p deux entiers naturels quelconques. Montrer que, si = , alors modulo 26. En déduire que deux lettres distinctes de l'alphabet sont codées par deux lettres distinctes. 4- On suppose que a=17 et B=3. (a) Soit n un entier naturel. Calculer le reste de la division euclidienne de par 26. (b) En déduire un procédé de décodage. (c) En déduire le décodage du message "KTGZDO" Solution 1- a) On prend par exemple u=2 et v=1. b) . Donc pour que , il faut que . En posant et , comme , . Donc on peut prendre et . c) Soient a et k deux entiers tels que . Ecrivons et . On a soit soit . 13 et 7 sont premiers entre eux, donc et sont de la forme: et où p est un entier relatif. Donc a et k sont de la forme: a=4+13*p k=2+7*p où p est un entier relatif. 2- a) donc 5*a+b=10 [26]. donc 19*a+b=14 [26]. b) 19a+b-5a-b=14-10 [26] donc 14a=4 [26] donc il existe k entier relatif non nul tel que 14a-26k=4. c) a est compris entre 0 et 25 et est de la forme 4+13p où p est un entier relatif, donc a vaut 4 ou 17. Donc le couple (a,b) vérifie: a=4 et 20+b=10 [26] soit a=4 et b=16 ou a=17 et 85+b=10 [26] soit a=17 et b=3. 3- a) GAUSS est la suite de chiffres 6 0 20 18 18. Pour 6: 6*17+3=105=4*26+1, donc Pour 0: 0*17+3=3, donc Pour 20: 20*17+3=343,=13*26+5 donc Pour 18: 18*17+3=309=11*26+23, donc GAUSS est donc crypté en BDFXX b) si , 17n+3=17p+3 [26] donc 17(n-p)=0[26]. 26 et 17 sont premiers entre eux, donc n=p. Donc deux lettres distinctes sont codées par deux lettres distinctes. 4- a) . Or: [26] et si on note q le reste recherché, on a: [26] soit [26] soit [26] donc q=0. b) Ayant , on sait que [26] et n est compris entre 0 et 25, donc n est le reste de la division euclidienne de par 26. c) K: , donc d'où n=5. T: , donc d'où n=4 G: , donc d'où n=17 Z: , donc d'où n=12 D: , donc d'où n=0 O: , donc d'où n=19 On trouve donc FERMAT, nom d'un célèbre mathématicien spécialiste de l'arithmétique. Remarque: des méthodes similaires sont utilisées en informatique d'une part comme base d'algorithmes simples de cryptographie, et comme méthode de génération de nombres aléatoires. En prenant a et b très grands et en modifiant 26 par un nombre très grand, on obtient l'illusion du hasard, ce qu'un ordinateur ne saurait réellement produire. Retour