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Les sujets "zéro" du baccalauréat Série ES Exercice 30 (enseignement obligatoire) Enoncé Partie A: Etude d'une fonction Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0,700] par: . 1- a) Calculer la limite de f en 0. b) On note f' la dérivée de la fonction f. Vérifier que . c) Etudier les variations de la fonction f. 2- Dessiner la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthogonal , où 1 cm représente 50 unités sur l'axe des abscisses et 1 cm représente 20 unités sur l'axe des ordonnées. Partie B: On rappelle que le coût marginal de la fabrication de la quantité d'un produit est le coût de fabrication d'une unité supplémentaire de ce produit. On considère que, dans la situation étudiée dans cette partie, le coût marginal est la dérivée de la fonction coût total C de la fabrication. Une entreprise fabrique au plus 700 unités d'un produit. Elle ne peut fabriquer moins de 100 unités: le coût total de fabrication de ces 100 unités est de 16000 euros. Le coût marginal de fabrication de ce produit est décrit sur l'intervalle [100,700] par la fonction f étudiée dans la partie A. On a donc pour x appartenant à l'intervalle [100,700]. On note C(x) le coût total de la fabrication de x unités. 1- Montrer que pour tout x appartenant à l'intervalle [100,700], . 2- Calculer le coût total C(x) pour x appartenant à l'intervalle [100,700]. Solution Partie A: Etude de la fonction f 1- a) , donc . b) est de la forme , donc: . On en déduit: . c) Pour tout x de ]0,700] et , donc est du signe de . Tableau de variation de f: 2- Représentation graphique de la fonction f: Partie B: 1- Le coût total est la primitive du coût marginal de valeur 16000 pour la valeur 100 de x. est la primitive de qui s'annule pour la valeur 100 de x, donc le coût total est . 2- Une primitive de , donc de f, sur [100,700] est définie par: . On en déduit: Retour