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Les sujets "zéro" du baccalauréat
Série ES
Exercice 31 (enseignement obligatoire)




Enoncé

Un restaurant spécialisé dans la restauration rapide propose trois menus différents aux tarifs suivants:

accompagnés éventuellement d'un dessert à 2 ?.
Le responsable commercial du restaurant a fait réaliser une étude qui a donné les résultats suivants:



1-Etablir les fréquences des six menus possibles.
Pour chaque client qui se présente on s'intéresse à la commande qu'il passe et on suppose que la probabilité de son choix est égale à la fréquence de ce choix trouvée lors de l'enquête.
On considère alors les événements suivants,

A: "le client choisit le menu A",
B: "le client choisit le menu B",
C: "le client choisit le menu C",
D: "le client choisit un dessert".

2-Montrer que la probabilité de l'événement D est égal à 0.2.
Déterminer les probabilités des événements A, B et C.
3-Trois clients déjeunent en même temps dans ce restaurant, quelle est la probabilité qu'au moins deux d'entre eux choisissent un dessert, sachant que leurs choix sont indépendants les uns des autres?
4-Montrer que les événements A et D sont indépendants.
5-Déterminer la loi de probabilité de la dépense d'un client.
6-Calculer l'espérance de cette loi.


Solution

1-Les fréquences des six menus possibles sont données dans le tableau suivant:

2-Le total des fréquences des menus avec dessert est 0.2, donc la probabilité de l'événement D est égal à 0.2.
L'événement A: "le client choisit le menu A" est réalisé si le client choisit le menu A avec dessert ou sans dessert, donc la probabilité de A est .
L'événement B: "le client choisit le menu B" est réalisé si le client choisit le menu B avec dessert ou sans dessert, donc la probabilité de B est .
L'événement C: "le client choisit le menu C" est réalisé si le client choisit le menu C avec dessert ou sans dessert, donc la probabilité de C est .
3-L'événement "au moins deux des trois clients choisissent un dessert" est réalisé si deux clients choisissent un dessert et un client ne choisit pas de dessert (dans trois ordres différents) ou trois clients choisissent un dessert.
La probabilité qu'au moins deux d'entre eux choisissent un dessert est donc .
On obtient: .
4-
L'événement est réalisé si le client choisit le menu A avec un dessert, donc .
On en déduit , donc les événements A et D sont indépendants.
5-Le tableau suivant donne, suivant le choix du client, la dépense et la probabilité correspondante:


Choix A sans D A avec D B sans D B avec D C sans D C avec D
Dépense (?) 4 6 6 8 8 10
Probabilité 0.16 0.04 0.4 0.1 0.24 0.06

On en déduit les valeurs de la dépense du client: 4, 6, 8 et 10 et la loi de probabilité dans le tableau suivant:

Dépense (?) 4 6 8 10 Total
Probabilité 0.16 0.44 0.34 0.06 1

6-
L'espérance de cette loi est égale à 6.6 ?.




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