| Les sujets "zéro" du baccalauréat
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| Série ES
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| Exercice 32 (enseignement obligatoire)
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Enoncé
Un laboratoire propose un test de dépistage d'une certaine maladie. Ce test présente les caractéristiques techniques suivantes:
- La probabilité qu'un individu atteint de cette maladie ait un test positif est de 0.95.
- La probabilité qu'un individu non atteint de cette maladie ait un test négatif est aussi de 0.95.
On choisit un individu lambda au hasard et on note:
- l'événement "l'individu choisi présente la maladie étudiée" et l'événement contraire.
- l'événement "le test effectué sur l'individu est positif" et l'événement contraire.
1-On veut faire un dépistage systématique dans une population donnée et l'on sait que la proportion d'individus atteints de la maladie dans la population est 0.001 (autrement dit 1 individu sur 1000 est atteint de cette maladie).
a) Réaliser un arbre pondéré décrivant cette situation.
b) Calculer la probabilité .
c) Calculer la probabilité qu'un individu présentant un test positif soit atteint de la maladie. Ce nombre représente la valeur prédictive du test.
2-On s'intéresse aux variations de cette valeur prédictive selon la proportion d'individus atteints de la maladie dans la population.
a) On considère une population à risque pour la maladie considérée. On sait que, dans cette population, 25 individus sur 100 sont atteints de cette maladie. Quelle est alors la valeur prédictive du test?
b) On considère maintenant une troisième population et l'on note x la proportion d'individus atteints de la maladie. Déterminer en fonction de x la valeur prédictive du test pour cette population. Pour quelle valeur de x, un individu dont le test est positif, a-t-il une chance sur deux d'être malade?
Solution
1- a) Arbre pondéré décrivant la situation:
b) D'après l'arbre ci-dessus décrivant la situation, les événements M et forment une partition de l'univers, donc d'après la formule des probabilités totales,
c) à 0.001 près.
2- a) Si alors et à 0.001 près.
b) Si alors et
On résout l'équation d'inconnue x.
On obtient:
On en déduit qu'un individu dont le test est positif a une chance sur deux d'être malade si 5 individus sur 100 sont atteints de cette maladie.
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