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Les sujets "zéro" du baccalauréat
Série ES
Exercice 33 (enseignement obligatoire)




Enoncé

Un club de sport propose deux formules d'abonnements.
Formule A: une cotisation annuelle de 50 euros à laquelle s'ajoute la première année seulement un droit d'entrée de 1000 euros.
Formule B: une cotisation annuelle initiale de 100 euros qui augmente de 10% par an. Cependant, dès la seconde année, pour fidéliser la clientèle, on effectue une réduction de 5 euros sur le montant de la cotisation annuelle. Ainsi, si est le montant, exprimé en euros, de la cotisation annuelle la n-ième année, on a et, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on a

1-Déterminer la somme totale versée au club de sport par membre pendant n années avec la formule A.
2-Soit ( ) la suite définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par .
a) Montrer que la suite ( ) est une suite géométrique de raison 1.1 et préciser son terme initial .
b) Exprimer puis en fonction de n.
3-a) Soit la somme versée au club par un membre pendant n années avec la formule B.
Montrer que .
b) Au bout de combien d'années de cotisation la formule A devient-elle, au total, plus avantageuse que la formule B?
On rappelle que pour tout réel q différent de 1 et tout entier naturel n non nul, la somme des nombres 1, q,..., est égale à .


Solution

1-La somme totale versée au club de sport par membre pendant n années avec la formule A est .
2-Soit ( ) la suite définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par .
a)
Pour tout entier naturel n non nul, , donc la suite est géométrique de raison 1.1.
, donc le premier terme de la suite est 50.
b) .
Pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par , donc .
On en déduit: .
3-a) est la somme des n nombres , ,..., .
La somme des n nombres , ,..., est égale à , donc:


b) On résout l'inéquation d'inconnue n.
On obtient successivement:



La fonction ln est strictement croissante sur , donc on en déduit:


Le nombre est strictement positif, donc on en déduit:

Le nombre est strictement compris entre 11 et 12, donc les solutions de l'inéquation sont tous les entiers naturels supérieurs ou égaux à 12. La plus petite solution est 12, donc c'est au bout de 12 années de cotisation que la formule A devient, au total, plus avantageuse que la formule B.



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