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Equations à une inconnue
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Cours ( fiche 1 )
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Définitions, équations du 1er degré, équations produits
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Equation

Une égalité numérique est vraie ou fausse: est vraie ; est fausse.

Une égalité numérique contenant la seule variable x, lettre susceptible d'être remplacée par les nombres d'un ensemble E, est conditionnelle.
Cette égalité est une équation d'inconnue x, élément de E. Elle est vraie ou fausse sous condition de remplacer x par un nombre de l'ensemble E.
L'ensemble E estl'ensemble de définition de l'équation.


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Solution

Si, en remplaçant x dans l'équation par un nombre de l'ensemble E, l'égalité obtenue est vraie, alors ce nombre est une solution de l'équation.

Résoudre l'équation dans E, c'est déterminer toutes ses solutions dans E. On donne alors l'ensemble des solutionsde l'équation.

Une équation peut avoir :
- un nombre fini de solutions.
L'équation , d'inconnue réelle x, a une solution le nombre 2, l'ensemble des solutions de l'équation est .
L'équation , d'inconnue réelle x, a deux solutions les nombres -2 et 2, l'ensemble des solutions de l'équation est .


- aucune solution .
L'équation , d'inconnue réelle x, n'a pas de solution, l'ensemble des solutions de l'équation est .

- une infinité de solutions .
L'équation d'inconnue réelle x, a pour solutions tous les nombres réels, l'ensemble des solutions de l'équation est .

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Equations équivalentes

Deux équations définies dans le même ensemble E sont équivalentes si elles ont les mêmes solutions.

Les équations et , d'inconnue réelle x, sont équivalentes dans l'ensemble des nombres réels. Elles ont toutes deux une solution, le nombre 1.

Les équations et , d'inconnue réelle x, ne sont pas équivalentes dans l'ensemble des nombres réels. La première a une solution, le nombre 2, la seconde a deux solutions les nombres 2 et -2.

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Résoudre dans un ensemble E

Quand les solutions de l'équation à résoudre sont évidentes, il suffit de donner la réponse.

Quand les solutions de l'équation à résoudre ne sont pas évidentes, on transforme l'équation en une équation équivalente et dont les solutions sont évidentes.

Pour cela on peut utiliser, dans les deux membres, les règles du calcul algébrique dont le développement, la factorisation et la réduction.

Il existe de plus deux principes et leurs applications pratiques :

Principe 1
On obtient une équation équivalente à une équation donnée en ajoutant à ses deux membres une même expression algébrique définie pour toutes les valeurs de la variable x dans E.

Application pratique
On obtient une équation équivalente à une équation donnée en « transposant » un terme d'un membre à l'autre, en changeant le signe qui le précède (on dit aussi oralement en « passant » un terme d'un membre à l'autre).

Principe 2
On obtient une équation équivalente à une équation donnée en multipliant ou en divisant ses deux membres par une même expression algébrique définie et différente de zéro pour toutes les valeurs de la variable x.

Application pratique
On obtient une équation équivalente à une équation donnée sans l'un des dénominateur en multipliant ses deux membres par ce dénominateur.

Si l'équation contient l'inconnue au dénominateur, on doit:
- dès le début de la résolution de l'équation, dire que toute solution de l'équation doit être différente des valeurs de x dans E pour lesquelles le dénominateur est nul.
- avant de donner l'ensemble des solutions de l'équation, vérifier que les solutions proposées sont acceptables ou non.


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Equation du premier degré à une inconnue

Une équation du premier degré à une inconnue réelle x est équivalente à une équation de la forme , a et b étant des nombres réels.

Résolution
On applique le premier principe de transformation :
équivaut à


Discussion
1. Si a est différent de 0, alors on applique le deuxième principe de transformation :
On divise les deux membres de l'équation par a :
équivaut à


L'équation a une solution évidente le nombre  .
Comme l'équation est équivalente à la précédente alors l'ensemble
des solutions de l'équation est .


2. Si alors l'équation s'écrit .
Dans ce cas:

- si b est différent de 0, alors, pour toute valeur du réel x, l'égalité obtenue est fausse donc l'ensemble des solutions de l'équation est .

- si , alors l'équation s'écrit , donc pour toute valeur du réel x, l'égalité obtenue est vraie donc l'ensemble des solutions de l'équation est l'ensemble des nombres réels.

Cette résolution est un modèle à utiliser pour toute équation dont certains coefficients contiennent des lettres appelées paramètres.

Résumé

Conditions Ensemble des solutions
a différent de 0
et
et

A retenir ! 
Une équation du premier degré peut avoir une solution (le plus souvent), ou pas de solution ou comme solutions tous les nombres réels.

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Equations produits

On appelle équation produit toute équation dont l'un des membres est un produit d'expressions algébriques et l'autre membre est zéro.

Pour la transformer on utilise la propriété qui s'énonce :
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul, et qui s'écrit :
équivaut à ou

L'ensemble des solutions de l'équation est la réunion des ensembles de solutions de et de .


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