| Fonction dérivée. Module gratuit
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| Apprentissage
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| Fiche 4
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Question
Définir la fonction dérivée d'une fonction f définie sur l'ensemble des nombres réels par: , u étant une fonction polynôme de degré un ou deux.
Méthode 1
On développe le produit pour écrire sous la forme d'une somme puis on dérive en utilisant:
1. Si alors
2. Si alors
3. Si alors
5. Le théorème , u étant une fonction dérivable et k un nombre réel.
6. Le théorème: , u et v étant des fonctions dérivables.
Exercice 1
Si alors
Exercice 2
Si alors
Exercice 3
Si alors
Exercice 4
Si alors
Exercice 5
Si alors
Avez-vous noté le changement d'écriture du carré? C'est pour éviter des erreurs de développement.
Méthode 2
On constate que est sous la forme d'un carré du type puis on dérive en utilisant:
8. Le théorème: ,
et toujours:
1. Si alors
2. Si alors
3. Si alors
4. Si alors
5. Le théorème , u étant une fonction dérivable et k un nombre réel.
6. Le théorème: , u et v étant des fonctions dérivables.
Exercice 1
Si alors
On évite de développer pour faciliter l'étude ultérieure du signe de f'(x).
Exercice 2
Si alors
On regroupe les facteurs constants.
Exercice 3
Si alors
Exercice 4
Si alors
Il ne servirait à rien de développer quoi que ce soit.
Exercice 5
Si alors
On regroupe les facteurs constants.
Exercice 6
Si alors
Exercice 5
Si alors
En réduisant le dernier facteur on obtient un produit de quatre facteurs dont trois polynômes du premier degré. On aurait pu développer le produit avant de dériver.
Exercice 6
Si alors
On réduit et ordonne le deuxième facteur suivant les puissances décroissantes de x:
Il est important de savoir utiliser la formule de dérivation d'un carré parce qu'elle évite des développements longs et périlleux avant de dériver et en terminale vous aurez à dériver des expressions sous forme de carré que vous ne pourrez pas développer.
De plus, vous obtenez avec cette formule, directement f'(x) sous forme de produit.
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