| Algèbre
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| Equations à une inconnue, du premier degré ou s'y ramenant
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| Exercice 23
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Résoudre l'équation d'inconnue réelle x.
Rédaction
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Commentaires
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Ligne 1
L'équation contient l'inconnue dans trois dénominateurs, dans l'ordre: et et .
Le premier dénominateur est nul si .
Le troisième dénominateur est nul si .
est une de deux : .
Donc on peut écrire:
On en déduit que si:
Donc toute solution de l'équation doit être différente de et de .
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Lorsque l'équation contient un dénominateur contenant l'inconnue x, toute valeur a de x qui annule ce dénominateur est à exclure et ne peut être solution de l'équation.
Si l'équation contient un dénominateur qui ne contient pas x, alors il est constant et ne peut être nul.
La première barre de fraction du premier membre signifie qu'il faut diviser par le nombre du dénominateur.
Dans ce cas le dénominateur est égal à 0 pour la seule valeur de x, donc ce nombre ne peut être solution de l'équation.
La barre de fraction du second membre signifie qu'il faut diviser par le nombre du dénominateur.
Dans ce cas le dénominateur est égal à 0 pour la seule valeur de x, donc ce nombre ne peut être solution de l'équation.
La seconde barre de fraction du premier membre signifie qu'il faut diviser par le nombre .
Puisque équivaut à , alors ce dénominateur est nul si ou , donc si ou .
Les trois dénominateurs sont donc nuls pour deux valeurs de x: et .
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Ligne 2
Pour faire disparaître les trois dénominateurs il faut multiplier les deux membres par
(choisir le plus simple possible)
On obtient:
On développe:
On en déduit:
L'équation est du second degré.
On rassemble les termes en x dans le premier membre et les termes constants dans le second:
On en déduit: , donc:
La seule solution possible est le nombre , d'après la ligne 1 cette solution est acceptable puisque différente de et de .
L'ensemble des solutions de l'équation est: .
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Les dénominateurs étant: ; et , si on multiplie les deux membres par et , alors les trois dénominateurs vont disparaître.
On utilise sans explications:
Au premier membre:
Au second membre:
Toute équation qui est du second degré doit pouvoir se ramener à une ou plusieurs équations du premier degré, soit que les termes du second degré s'annulent, soit que l'équation s'écrive sous la forme d'une équation produit.
En rassemblant les termes en x dans le premier membre on constate que les termes du second degré s'annulent, donc l'équation se ramène à une équation du premier degré.
Attention lorsqu'il existe des valeurs interdites pour x, de ne pas oublier de vérifier que les solutions proposées sont effectivement différentes des valeurs impossibles.
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