| Algèbre
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| Equations à une inconnue, du premier degré ou s'y ramenant
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| Exercice 20
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Résoudre l'équation d'inconnue réelle x.
Rédaction
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Commentaires
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Ligne 1
L'équation contient l'inconnue dans deux dénominateurs: .
Ces dénominateurs sont nuls pour la valeur de x; donc toute solution de l'équation doit être différente de .
Pour que l'équation ne contienne plus de dénominateurs, on multiplie les deux membres par (choisir l'expression la plus simple)
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Lorsque l'équation contient un dénominateur contenant l'inconnue x, toute valeur a de x qui annule ce dénominateur est à exclure et ne peut être solution de l'équation.
Si l'équation contient un dénominateur qui ne contient pas x, alors il est constant et ne peut être nul.
La barre de fraction du premier et du second membre (de dénominateur ) signifie qu'il faut diviser par le nombre du dénominateur.
Si, pour une valeur de x, ce nombre est 0, alors la division est impossible, donc cette valeur est à exclure des valeurs possibles pour x, donc ne peut être à fortiori solution de l'équation.
Dans ce cas le dénominateur est égal à 0 pour la seule valeur -2 de x, donc le nombre -2 ne peut être solution de l'équation.
Il existe deux dénominateurs égaux à et un dénominateur égal à 2, donc pour faire disparaître ces dénominateurs il faut multiplier les deux membres par ou tout multiple de , mais est le plus petit multiplicateur.
On utilise sans explications:
Au premier membre:
et
Au second membre:
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Ligne 2
On développe le premier membre:
L'équation est du second degré.
On transforme pour obtenir 0 dans le second membre, et on réduit le premier membre:
Le premier membre est une de deux .
On factorise le premier membre:
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Toute équation qui est du second degré doit pouvoir se ramener à une ou plusieurs équations du premier degré, soit que les termes du second degré s'annulent, soit que l'équation s'écrive sous la forme d'une équation produit.
Donc, en rassemblant tous les termes dans le même membre on pourra ensuite obtenir l'une des formes souhaitées.
Le premier membre de l'équation est une différence de deux carrés de la forme: .
L'identité: permet de factoriser l'expression.
Factoriser une expression signifie mettre cette expression sous la forme d'un produit de facteurs.
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Ligne 3
Cette équation est une équation .
Elle équivaut à:
(respecter l'ordre des facteurs)
On en déduit:
Il existe (chiffre) solutions possibles.
D'après la ligne 1:
la solution est acceptable puisque différente de ,
la solution n'est pas acceptable puisque égale à .
L'ensemble des solutions de l'équation est .
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Toute équation de la forme est nommée équation produit. Le premier membre est un produit de facteurs (2 ou plus) et le second membre est 0. Toute solution de l'équation est un nombre tel que le produit du premier membre est égal à 0, donc tel que l'un des facteurs du premier membre est égal à 0.
Attention lorsqu'il existe des valeurs interdites pour x, de ne pas oublier de vérifier que les solutions proposées sont effectivement différentes des valeurs impossibles.
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