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Algèbre Equations à une inconnue, du premier degré ou s'y ramenant Exercice 22 Résoudre l'équation d'inconnue réelle x. Rédaction Commentaires __________________________________________________________________________________________________________ Ligne 1 L'équation contient l'inconnue dans deux dénominateurs, dans l'ordre: et . Le premier dénominateur est nul si . Le second dénominateur est nul si . Donc toute solution de l'équation doit être différente de et de . L'équation est du type (avec b différent de 0 et d différent de 0), ce qui équivaut à: . On obtient donc: Lorsque l'équation contient un dénominateur contenant l'inconnue x, toute valeur a de x qui annule ce dénominateur est à exclure et ne peut être solution de l'équation. Si l'équation contient un dénominateur qui ne contient pas x, alors il est constant et ne peut être nul. La barre de fraction du premier membre signifie qu'il faut diviser par le nombre du dénominateur. Dans ce cas le dénominateur est égal à 0 pour la seule valeur -2 de x, donc le nombre -2 ne peut être solution de l'équation. La barre de fraction du second membre signifie qu'il faut diviser par le nombre du dénominateur. Dans ce cas le dénominateur est égal à 0 pour la seule valeur ?3 de x, donc le nombre -3 ne peut être solution de l'équation. L'égalité (avec b différent de 0 et d différent de 0) équivaut à . En français: le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. On dit aussi que les produits en croix sont égaux. __________________________________________________________________________________________________________ Ligne 2 L'équation est du second degré. On développe les deux membres: On réduit les deux membres: On rassemble les termes en x dans le premier membre et les termes constants dans le second: On en déduit: La seule solution possible est le nombre , d'après la ligne 1 cette solution est acceptable puisque différente de et de . L'ensemble des solutions de l'équation est: . Toute équation qui est du second degré doit pouvoir se ramener à une ou plusieurs équations du premier degré, soit que les termes du second degré s'annulent, soit que l'équation s'écrive sous la forme d'une équation produit. En rassemblant les termes en x dans le premier membre on constate que les termes du second degré s'annulent, donc l'équation se ramène à une équation du premier degré. Attention lorsqu'il existe des valeurs interdites pour x, de ne pas oublier de vérifier que les solutions proposées sont effectivement différentes des valeurs impossibles. Retour