| Algèbre
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| Transformation d'un système linéaire
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2. Méthode des combinaisons linéaires
Cours
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On considère le système de deux équations à deux inconnues réelles x et y.
Chacune des deux équations contient les deux inconnues x et y.
La méthode de substitution (transformation 1) permet de remplacer ce système par un système de la forme , puis, si possible, par un système de la forme: , dont les deux équations ne contiennent chacune qu'une inconnue.
La transformation 2 va permettre d'obtenir la même forme en utilisant les règles suivantes.
Règles
1. k étant un nombre réel non nul, l'égalité équivaut à .
En français: "on peut multiplier les deux membres d'une égalité par un même nombre non nul".
2. Si et alors
En français: "on peut additionner deux égalités membre à membre".
Application
On applique ces deux règles aux égalités: : et : :
1. Si alors (Règle 1)
On multiplie les deux membres de par 3. On obtient l'égalité .
2. Si alors (Règle 1)
On multiplie les deux membres de par (-2). On obtient l'égalité .
3. Alors (Règle 2)
On additionne membre à membre et . On obtient l'égalité .
Si on réduit , on obtient:
Cette égalité contient une seule inconnue: y.
On a obtenu cette égalité en choisissant pour le coefficient multiplicateur 3 et pour le coefficient multiplicateur (-2), de telle sorte que: 3 fois le coefficient de x dans plus (-2) fois le coefficient de x dans égale 0.
L'égalité est la combinaison linéaire de et de coefficients (multiplicateurs) 3 et (-2).
Il n'y a plus qu'à recommencer pour obtenir si possible, une deuxième combinaison linéaire de et de coefficients choisis de telle sorte qu'elle ne contienne que l'inconnue x.
On choisit, pour , le coefficient multiplicateur 1 et pour le coefficient multiplicateur 5, de telle sorte que: 1 fois le coefficient de y dans plus 5 fois le coefficient de y dans égale 0.
On obtient: qui, une fois réduite s'écrit: .
On en déduit le système: , qui s'écrit: .
La méthode de transformation présentée ci-dessus est la méthode des combinaisons linéaires.
Cette méthode est plus difficile à mettre en ?uvre parce qu'il faut déterminer les coefficients multiplicateurs avant tout calcul.
On peut éventuellement combiner les deux méthodes de transformation: commencer par déterminer une combinaison linéaire des deux équations puis conserver l'une des équations du système initial et terminer la transformation par une substitution. Il est très rare qu'on impose la méthode de transformation d'un système, alors choisissez celle qui est la plus adaptée et que vous maîtrisez le mieux.
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